复习与提高

B 组第 2 题

\begin{cases} G\frac{Mm}{R^{2}}=m\left( \frac{2\pi}{T} \right)^{2}R\\ M=\rho V \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} T^{2}=4\pi^{2}\frac{R^{3}}{GM} \\ M=\rho\frac{4\pi}{3}R^{3} \end{cases}

\Rightarrow T^{2} \rho\frac{4\pi}{3}R^{3} = \frac{4\pi^{2}R^{3}}{G} \Rightarrow T^{2}\rho=\frac{3\pi}{G}

B 组第 4 题

地球半径 R，原同步轨道半径记为 r_{0}=6.6R.

分析几何关系，得临界情况下同步轨道半径 r_{1}=2R

由 T=2\pi \sqrt{ \frac{r^{3}}{GM} } 得 \frac{T_{1}}{T_{0}}=\sqrt{ \left( \frac{r_{1}}{r_{0}} \right)^{3} }

import numpy as np
ratio = np.sqrt((2/6.6)**3)
print(f'最小值为 {24 * ratio} h')

最小值为 4.003504600459493 h

B 组第 6 题

两环绕体从相距最近开始运动到再次相距最近，转得快的正好比转得慢的多转了一圈，即 \frac{t}{T_{\text{earth}}}-\frac{t}{T_{\text{other}}}=1 \Rightarrow t=\frac{T_{\text{earth}}}{1-\frac{T_{\text{earth}}}{T_{\text{other}}}}

\frac{T_{\text{earth}}}{T_{\text{jupiter}}}=\sqrt{ \left( \frac{r_{\text{earth}}}{r_{\text{jupiter}}} \right)^{3} }

import numpy as np
ratio = np.sqrt((1/5.2)**3)
print(f'木星冲日时间间隔为 {1/(1-ratio)} 年')

木星冲日时间间隔为 1.0920994815557206 年